导读非空真子集是什么意思，一、集合先问大家一个问题？集合，就是一个孤寡老人吗？其实不是的，他还有很多的兄弟姐妹，比如说，一个集合中什么都没有，那么这个集合叫什么？既然这个集合中什么元素都没有，不就是人们常说的是空的吗？所以说啊，这个集合就是空集合。那这个集合中有元素...

一、集合

先问大家一个问题？集合，就是一个孤寡老人吗？

其实不是的，他还有很多的兄弟姐妹，比如说，一个集合中什么都没有，那么这个集合叫什么？既然这个集合中什么元素都没有，不就是人们常说的是空的吗？所以说啊，这个集合就是空集合。

那这个集合中有元素的话，按照刚刚说的。如果说这个集合中含有至少一个元素，那么这个集合就叫做非空集合。

除此之外，还有就是如果把集合当作一个母体，所以说就会有很多的子女，这个子女给他取一个名字，叫做子集合。比如说：

把这个集合当作母体，会生下几个后代了？

都说了后代和母亲会很相似，但也有可能胎儿早夭，所以说可能生出来一个空集合，所有的母体都有可能生出来一个空集合，所以说空集合是所有的集合都有的。

那么由此可以看出来：

以上就是生出来的后代可能。

对于这种有趣的现象，很多科学家争先恐后的研究，得出了结论，集合的子集个数是二的n次方。

然后这里诞生了真子集的概念，想想后代不可能和父母一模一样，集合也是一样，除去和父母完全相同的那个集合，剩下的集合就是真子集。

这里还有一个非空真子集的概念，可以从字面上看，首先就是要是非空，然后就是真子集，所以非空真子集，就是要除去相同的子集和空子集，剩下的就是非空真子集。

批注：

读者有什么不懂的可以留言，想要知道什么高中解题经验可以给作者留言啊！

！！！重要事情说三遍

沪教版高一上数学作业01集合的概念、表示以及集合间的关系

作业01集合的概念、表示以及集合间关系

学生版

一．选择题（共4小题）

1．下列六个关系式：①{a，b}⊆{b，a}②{a，b}={b，a}③0=∅④0∈{0}⑤∅∈{0}⑥∅⊆{0}其中正确的个数为（　　）

A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个

2．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1}，设集合C={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，则集合C的真子集的个数为（　　）

A．7 B．8 C．15 D．16

3．若A⊆B，A⊆C，B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，则这样的A的个数为（　　）

A．4 B．15 C．16 D．32

4．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值组成的集合为（　　）

A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}　

二．解答题（共11小题）

5．用适当的方法表示下列集合

①方程x（x2+2x+1）=0的解集；

②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；

③不等式x﹣2＞6的解的集合；

④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．

6．（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈

A，求实数a的值．

（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a、b的值．

7．已知A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}．

（1）若1∈A，用列举法表示A；

（2）当A中有且只有一个元素时，求a的值组成的集合B．

8．已知集合A={x|ax2﹣2x+1=0}．

（1）若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；

（2）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．

9．设计集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|m﹣1≤x≤2m+1}，已知B⊆A．

（1）当x∈N时，求集合A的子集的个数；

（2）求实数m的取值范围．

10．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．

（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；

（2）若x∈Z，求A的非空真子集的个数．

11．已知方程ax2+x+b=0．

（1）若方程的解集为{1}，求实数a，b的值；

（2）若方程的解集为{1，3}，求实数a，b的值．

12．已知集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

13．设S={x|x=m+n，m、n∈Z}．

（1）若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？

（2）对S中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1•x2是否属于S？

14．已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．

答案版

一．选择题（共4小题）

1．下列六个关系式：①{a，b}⊆{b，a}②{a，b}={b，a}③0=∅④0∈{0}⑤∅∈{0}⑥∅⊆{0}其中正确的个数为（　　）

A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个

【解答】解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；

根据集合有序性可知②正确；

根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；

根据元素与集合之间可知④正确；

根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．

故选：C．

2．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1}，设集合C={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，则集合C的真子集的个数为（　　）

A．7 B．8 C．15 D．16

【解答】解：根据题意，集合A={﹣1，0，1}，B={0，1}，设集合C={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，

则C={﹣1，0，1，2}，有4个元素，

则C有24﹣1=15个真子集；

故选：C．

3．若A⊆B，A⊆C，B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，则这样的A的个数为（　　）

A．4 B．15 C．16 D．32

【解答】解：∵A⊆B，A⊆C，

∴A⊆（B∩C），

∵B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，

∴B∩C={0，2，4，6}，

∴A的个数为16，

故选：C．

4．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值组成的集合为（　　）

A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}

【解答】解：由题意可得，集合A为单元素集，

（1）当a=0时，A={x|2x=0}={0}，此时集合A的两个子集是{0}，∅，

（2）当a≠0时 则△=4﹣4a2=0解得a=±1，

当a=1时，集合A的两个子集是{1}，∅，

当a=﹣1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，∅．

综上所述，a的取值为﹣1，0，1．

故选：D．

二．解答题（共11小题）

5．用适当的方法表示下列集合

①方程x（x2+2x+1）=0的解集；

②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；

③不等式x﹣2＞6的解的集合；

④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．

【解答】解：①解方程x（x2+2x+1）=0得：

x=0或x=﹣1，

故方程x（x2+2x+1）=0的解集为{﹣1，0}；

②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合可表示为：{x|x=2n+1，n≤499，且n∈N}；

③解不等式x﹣2＞6得：

x＞8．

故不等式x﹣2＞6的解集为{x|x＞8}；

④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合是：{x|0.5＜x≤6，且x∈N}．

6．（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值．

（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a、b的值．

【解答】解：（1）由题意：

a+2=1或（a+1）2=1或a2+3a+3=1，

解得a=﹣1或a=﹣2或a=0．

据元素的互异性可排除﹣1，﹣2，∴a=0．

（2）由题意或，

解得或或，

根据集合中元素的互异性得

或．

7．已知A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}．

（1）若1∈A，用列举法表示A；

（2）当A中有且只有一个元素时，求a的值组成的集合B．

【解答】解：A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}．

（1）当1∈A时，方程ax2+2x+1=0的实数根为1，

∴a+2+1=0，解得a=﹣3；

∴方程为﹣3x2+2x+1=0，

解得x=1或x=﹣；

∴A={1，﹣}；

（2）当a=0时，方程ax2+2x+1=0为2x+1=0，

解得x=﹣，A={﹣}；

当a≠0时，若集合A只有一个元素，

由一元二次方程ax2+2x+1=0判别式△=4﹣4a=0，

解得a=1；

综上，当a=0或a=1时，集合A只有一个元素．

所以a的值组成的集合B={0，1}．

8．已知集合A={x|ax2﹣2x+1=0}．

（1）若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；

（2）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）若A中恰好只有一个元素，则方程ax2﹣2x+1=0只有一个解．

当a=0时，方程ax2﹣2x+1=0等价为﹣2x+1=0，即x=，满足条件．

当a≠0，判别式△=4﹣4a=0，解得a=1．

所以a=0或a=1．

（2）若A中至少有一个元素，则由（1）知，当集合只有一个元素时a=0或a=1．

当集合A有2个元素时，满足条件a≠0且△=4﹣4a＞0，解得a＜1且a≠0．

综上实数a的取值范围a≤1．

9．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|m﹣1≤x≤2m+1}，已知B⊆A．

（1）当x∈N时，求集合A的子集的个数；

（2）求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）∵当x∈N时，A={0，1，2}，∴集合A的子集的个数为23=8．

（2）①当m﹣1＞2m+1，即m＜﹣2时，B=∅，符合题意；

②当m﹣1≤2m+1，即m≥﹣2时，B≠∅．由B⊆A，借助数轴，如所示，

得解得0≤m≤，所以0≤m≤．

综合①②可知，实数m的取值范围为．

10．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．

（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；

（2）若x∈Z，求A的非空真子集的个数．

【解答】解：（1）①若B≠∅，m+1≤2m﹣1，∴m≥2，

∵B⊆A；

∴，解得﹣3≤m≤3，

∴2≤m≤3；

②若B=∅，满足B⊆A，则：m+1＞2m﹣1；

∴m＜2；

∴实数m的取值范围为：（﹣∞，3]．

（2）x∈Z，A={x|﹣2≤x≤5}={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，

∴A的非空真子集的个数为28﹣2=254．

11．已知方程ax2+x+b=0．

（1）若方程的解集为{1}，求实数a，b的值；

（2）若方程的解集为{1，3}，求实数a，b的值．

【解答】解：（1）若方程的解集为{1}，则

①若a=0，则1+b=0，

解得a=0，b=﹣1；

②若a≠0，则a+1+b=0且1﹣4ab=0，

解得a=b=﹣．

综上所述，a=0，b=﹣1或a=b=﹣．

（2）依题意得：1+3=﹣，1×3=，

解得a=﹣，b=﹣．

12．已知集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

【解答】解：A={x|x2+4x=0，x∈R}={0，﹣4}，

若A∪B=A，则B⊆A，

方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的判别式△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8=8（a+1），

①若B=∅，即△=8（a+1）＜0．即a＜﹣1，满足条件，B⊆A．

②若B={0}或{﹣4}，则△=8（a+1）=0，即a=﹣1，

此时方程为x2=0，解得x=0，即此时B={0}成立

③若B={0，﹣4}，则△=8（a+1）＞0，即a＞﹣1，

则，解得a=1．

综上a≤﹣1或a=1．

13．设S={x|x=m+n，m、n∈Z}．

（1）若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？

（2）对S中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1•x2是否属于S？

【解答】解：（1）∵S={x|x=m+n，m、n∈Z}，a∈Z，

∴a=a+0×∈S．

∴a是集合S的元素．

（2）不妨设x1=m+n，x2=p+q，m、n、p、q∈Z．

则x1+x2=（m+n）+（p+q）=（m+n）+（p+q），

∵m、n、p、q∈Z．∴p+q∈Z，m+n∈Z．∴x1+x2∈S，

x1•x2=（m+n）•（p+q）=（mp+2nq）+（mq+np），m、n、p、q∈Z．

故mp+2nq∈Z，mq+np∈Z．

∴x1•x2∈S．

综上，x1+x2、x1•x2都属于S．

14．已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．

【解答】解：存在M={1，}满足条件；理由如下：

若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，

即方程（m﹣1）x2+3x﹣2=0只有一个根，

则m﹣1=0，或，

解得：m=1，或m=，

故M={1，}．

高中数学重难点突破：集合与常用逻辑用语

即将高一的同学，数学首先学的是《集合与常用逻辑用语》。

高考对本章的考察往往以一道选择题的形式进行，是一道热身题（送分题）。

当然，这不是说本章不重要，相反，本章所涉及到的分类讨论思想、数形结合思想等将会贯穿高中数学的始终。

数学语言的简洁性和做题的严谨性也会在本章得到体现。譬如，“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”，这句话就值得反复琢磨，由此可以衍生出无数道题，所谓“万变不离其宗”就是这个道理。做题时，一定要严谨，切忌“好像是、大概是、差不多”，必须考虑所有情况。

高中数学知识点多、难度大，在学习中挫折在所难免，但只要掌握正确的学习方法，早准备、精做题、善总结，必能披荆斩棘，取得满意的成绩。

朱老师有多年高中数学教学经验，对学生搞题海战术深恶痛疾，一直有编一套高质量教辅的想法，这样的辅导书须知识点、数学思想方法、各类题型全覆盖，重难点突出，学生能结合自身实际做到有的放矢。

经过近三年的努力，查阅了上千份资料，做了上万道题，如今，这本书横空出世，甚是欣慰。

本书的正确打开方式：

一、要点归纳：教材上的重要知识点归纳；

二、重要结论：教材上没有的但又是常考的，或者可以大大提高做题速度的结论；

三、典型例题：按题型分，并会给出通用方法和规律总结 ，例题的解析过程注重思路的引导。

四、强化练习：检查对知识点和例题的掌握情况，例题掌握得好的学生可以不做强化练习。

五、复习题：从第二章开始，会分A、B两组题，广度一样，深度不一样，以满足不同水平的学生。